الغايات المنتهية

الغايات The limits :
تعتبر الغاية من المفاهيم الاساسية في الرياضيات وتعتمد عليها مفاهيم رياضية مهمة اخرى مثل الاستمرارية والمشتقة والتكامل.
اولا- الجوار والجوار المحذوف:
لو مثلنا العدد 3 عل خط الاعداد الحقيقية R
نلاحظ ان هذا العدد يقع بين العددين 2 و 4 أي انه ينتمي للفترة المفتوحة (2،4) حيث ان هناك عدد كبير من الاعداد التي تقع على يمين العدد 3 وهي اكبر من العدد 3 وتكون هذه الاعداد اكبر كلما اقتربنا من العدد 4 وهذه الاعداد تمثل جوار اليمين للعدد 3.
كذلك نلاحظ ان هناك عدد كبير من الاعداد على يسار العدد3 وتكون هذه الاعداد اصغر كلما اقتربنا من العدد 2 وهذه الاعداد تسمى جوار اليسار للعدد 3.
تعريف? : اذا كان a عدد حقيقي a?R ،?>0 فان
1- الفترة المفتوحة (a-?,a+?) تمثل جوار العدد a.
2- الفترة المفتوحة (a-?,a) جوار اليسار للعددa حيث a لا ينتمي اليها.
3- (a,a+?) جوار اليمين للعدد a حيث a لا ينتمي اليها.
مثال?: اذا كان a=3 ، ?=(1 )/2اكتب جوار العددa=3 واكتب جوار اليمين وجوار اليسار
الحل: الفترة المفتوحة حسب التعريف (a-?,a+?)نعبر عنها بالصيغة
(a-?,a+?)= (3-(1 )/2,3+(1 )/2)=((5 )/2,(7 )/2) هذه الفترة هي جوار العدد 3
جوار اليمين هو الفترة المفتوحة(3,(7 )/2) = (a,a+?)=(3,3+(1 )/2)
جوار اليسار هو الفترة المفتوحة((5 )/2,3) = (a-?,a)=(3-(1 )/2,3)
تعريف?: يسمى المجال المفتوح (الفقرة المفتوحة) الذي يحوي العدد c جوار لـ c
تعريف?: يسمى جوار c الذي تبعد عنه c نفسها جوار محذوف لـ c .
مثال?: الفترة المفتوحة (-1,5) هو جوار لكل عدد يقع داخل هذه الفترة.
فمثلاً (-1,5) جوار للعدد 3 وكذلك للعدد 2
مثال?:
اكتب الجوار المحذوف للعدد 2 في الفترة (-1,5):
الجوار المحذوف هو(-1,2)?(2,5)
ثانيا- الغاية:
الان عندما نقول ان العدد x يقترب من a أي ان x يأخذ القيم القريبة جدا من اليمين واليسار للعدد a فهذه تسمى جوارات العدد a فمثلا عندما نكتب x?2^+ فأن القيم التي يأخذها المتغيرx من جهة اليمين هي x=2.1 ,2.01 ,2.00 1,… وعندما نكتب x?2^- فان القيم التي يأخذها المتغير x من جهة اليسار هي x=1.9,1.09,1.009,… .
يرمز للغاية بالرمز lim والتعبير lim?(x?a^+ )??f(x)=k? يعني ان غاية الدالة تقترب من العدد k عندما x يقترب من العدد a من جهة اليمين والتعبير lim?(x?a^- )??f(x)=k ? يعني ان غاية الدالة تقترب من العدد k عندما x يقترب من العدد a من جهة اليسار ، فاذا كانت الغاية من جهة اليمين تساوي الغاية من جهة اليسار وتساوي العدد k فأننا نقول ان lim?(x?a)??f(x)=k? وليس من الضروري ان الغاية من جهة اليمين تساوي الغاية من جهة اليسار.
مثال?:
اذا كان f(x)=x+3 ابحث غاية الدالة عندما x?4
الان عندما x?4^+ x?4^-
4. 1 4.01 4.001 4 3.999… 3.99 3.9 x
7. 1 7.01 7.001 7 6.999… 6.99 6.9 f(x)

هنا نلاحظ عندما x?4 فان?7 f(x) ونكتب lim?(x?4)??f(x)=7?
مثال?: اذا كانت f(x)=2x+1 ونسأل ماذا يحدث للدالة f(x) عندما تقترب x من العدد 2
?( ??2^- )?(??2^+ )
x 1 1.5 1.9 1.99 2 2.001 2.01 2.1
f(x) 3 4 4.8 4.98 5 5.002 5.02 5.2
من الجدول نقول ان غاية الدالة هي 5 عندما x تقترب من العدد 2 وتكتب بالرموز
lim?(x?2)?f(x)=lim?(x?2)??f(2x+1)=5? lim?(x?2)??f(x)=5? ?
وبصورة عامة lim?(x?c)??f(x)=L?
مثال?: ماذا يحدث للدالة f(x)=(x^2-4)/(x-2) عندما تقترب x من العدد 2 ؟
f(2) غير موجودة لان المقام = صفر عندما x=2
?f(x)=(x^2-4)/(x-2)=((x-2)(x+2))/(x-2), x?2 h(x)=(x+2)
lim?(x?2)?h(x)=lim?(x?2)?(x+2)=4
?f(x)=h(x)
?D_f={x? x?2} D_h=R ; D_h?D_f
?f(x)?4 فان x?2 عندما
علماً بأن الدالة غير معروفة عند x=2



تعريف أولي للغاية:
يقال بأن غاية الدالة f(x) عندما x يقترب من x_0 هي L وتكتب ? lim??(x?x_0 )??f(x)=L?اذا كانت f(x) تقترب من L كلما اقترب x من x_0 دون ان تساويها ويمكن كتابتها بالشكل التالي:
f(x)?L x?0 كلما
ملاحظات:
يشترط إن f(x) معرف على جهتي x_0 ولا يشترط ان تكون معرفة عند x_0 كذلك ان f(x) يجب ان تقترب من L عندما تقترب x من x_0 من كلا الاتجاهين (اليمين واليسار).
نؤكد عدم حاجتنا لمعرفة قيمة f(x_0) (ربما تكون f(x_0) غير معرفة) ولكن قيمة f(x_0) غالباً ما تساعدنا لحساب lim?(x?x_0 )??f(x)? لانه كثيراً ما يحدث انه يتساوى الغاية مع f(x_0)

مثال?: هل من الممكن ايجاد غاية الدالة y=?x عندما تقترب x من الصفر.
? ان الدالة غير معرفة عن الجهة اليسرى من العدد 0 فعليه لا توجد غاية للدالة ?x عندما تقترب x من الصفر
lim?(x?0^- )??x غير موجودة
lim?(x?0^+ )???x=0? معرفة ; lim?(x?0^- )??x غير معرفة

مثال?: احسب lim?(x?0)?|x|
الحل: lim?(x?0^- )?|x|=lim?(x?0^- )?|-x|=0
lim?(x?0^+ )?|x|=lim?(x?0^+ )?|+x|=0
?lim?(x?0^+ )?|x|=lim?(x?0^- )?|x|=0
?lim?(x?0)?|x|=c
مثال? : هل توجد غاية للدالة |x|/x عندما x تقترب من الصفر ؟
?lim?(x?0^- )=lim?(x?0^- )??|-x|/(-x)?=lim?(x?0^- )??1=-1 x?0?
lim?(x?0^+ )??|-x|/x?=lim?(x?0^+ )??|x|/x?=lim?(x?0^+ )??1=1 x?0?
?lim?(x?0^- )??|x|/x??lim?(x?0^+ )??|x|/x?
? لا توجد غاية للدالة |x|/x




ثالثا- خواص الغايات:
غاية دالة متعددة الحدود
f(x)=a_(0+) a_1 x+a_2 x^2+ ………+a_n x^n
دالة متعددة الحدود من الدرجة n , حيث n عدد صحيح موجب و a_n?0
الغاية متعددة الحدود عندما x?x_0 مساوية الى f (x_0)
?lim?(x?x_0 )=??lim?(x?x_0 ) (a_(0+) a_1 x+a_2 x^2+ ………+a_n x^n )
f (x_0 )=a_(0+) a_1 x_0+a_2 x_0^2+ ………+a_n x_0^n
مثال :? جد
lim?(x?3)??(x^2 ?+1)=(3)^2+1=10
نعوض مباشرة لان الدالة متعددة حدود من الدرجة الثانية .
مثال ?: هل توجد غاية للداله 5= f(x) عندما x?3 ؟
lim?(x?3)??5=5 y=5?




الخاصية?: لتكن c عدد حقيقي ولنفرض أن lim?(x?x_0 ) f(x) موجودة فأن lim?(x?x_0 ) cf(x)=?clim??(x?x_0 ) f(x)
مثال :? جد
lim?(x?-1)??(3x^2 )=1?
?3lim??(x?-1)??x^2 ? =3(-1)2 =3
الخاصية ?: اذا كان كلاً من
lim?(x?x_0 ) f(x)=L_1 و ? lim??(x?x_0 ) f(x)=L_2
lim?(x?x_0 ) [f(x)±g(x)]=lim?(x?x_0 ) f(x)±lim?(x?x_0 ) g(x) فان
? =L?_1±L_2

مثال ?:
Lim?(x?-2) (3x^3+2x^2-5x+8)=
3?Lim?(x?-2) x?^3+2?Lim?(x?-2) x?^2-5 Lim?(x?-2) x+Lim?(x?-2) 8=
3(-2)^3+2(-2)^2-5(-2)+8=-24+8+10+8=2
الخاصية ?: اذا كان lim?(x?? x?_0 ) f(x)=L_1 ؛lim?(x?x_0 ) f(x)=L_(2 ) موجودة فان
lim?(x?x_0 ) f(x).g(x)=lim?(x?x_0 ) f(x).lim?(x?x_0 ) g(x)=L_1.L_2
مثال :?
lim?(x?1) (2x+1)^2=[?lim?(??(x?1) 2x+1)]×[?lim?(??(x?1) 2x+1)]
=[?lim?(??(x?1) 2x+1)]^2
=3×3=(3)^2=9
بصورة عامة:[lim?(x?x_0 ) f(x)]^n=[lim?(x?0) f(x)]^n حيث n عدد صحيح موجب

الخاصية :? اذا كان كلا من lim?(x?x_0 ) f(x)=L_1 lim?(x?x_0 ) f(x)=L_2 و فان
lim?(x?x_0 ) f(x)/g(x) =(lim?(x?x_0 ) f(x))/(lim?(x?x_0 ) g(x) )=L_1/L_2 ; L_2?0
مثال:? جد
lim?(x?2) (2x+5)/(x^2+3)=(lim?(x?2) 2x+5)/(lim?(x?2) x^2+3)=(2×2+5)/(4+3)=9/7
الخاصية ?:
lim?(x?x_0 ) ?(n&f(x) )=?(n&lim?(x?x_0 ) f(x) ) يشترط ان ?0 lim?(x?x_0 )?f(x) عندما n عدد صحيح موجب زوجي
lim?(x?x_0 ) [f(x)]^n=[lim?(x?x_0 ) f(x)]^n
اذا كانت nعدد سالب عندئذ lim?(x?x_0 ) f(x)?0
التعريف الدقيق للغاية:
لتكن f(x) دالة معرفة على جوار نقطة x_0 وربما تكون غير معرفة على نقطة x_0 ذاتها فأن lim?(x?x_0 ) f(x)=L تعني لكل ?>0 يوجد ?>0بحيث ان لكل x تحقق المتراجحة
?|f(x)-L|أي ان L-?




x_0-? x_0 x_0+?




رابعا- الغايات اللانهائية والغايات عند اللانهايةR=(-?,?)
مثال?: هل توجد غاية للدالة f(x)=1/x^2 عندما تقترب x من الصفر؟
lim?(x?0^- )??1/x^2 =? ,lim?(x?0^+ )??1/x^2 =?? ?
وعليه فأنlim?(x?0)??1/x^2 ?=?

مثال?: هل توجد غاية f(x)=1/x غاية عندما(x?0)
lim?(x?0^- )??1/x=-? , lim?(x?0^+ )??1/x=?? ??lim?(x?0^- )??1/x=? ? lim?(x?0^+ )??1/x=?? ?
لا توجد غاية للدالة y=1/x عندما ??0

مثال?: ما غاية الدالة f(x)=1/x^2 عندما تقترب x من ?؟
lim?(x??)??1/x^2 =0 , 1/x^2 ?0 , k/(??)=0?
حيث k كمية ثابتة محدودة x??
?lim?(x?-?)??1/x^2 =0?
الكميات غير المعينة: 0.?,?-?,?/?,0/0
مثال?: جد ناتج ما يلي
lim?(x?4)??(?x-2)/(x-4)?=(?4-2)/(4-4)=0/0
0/0 كمية غير معينة
(?x-2)/(x-4)=(?x-2)/(?x-2?x+2) ,x?4
=1/(?x+2)
? ? lim??(x?4)???(?x-2)/(x-4)?=lim?(x?4)??1/(?x+2)=1/(?4+2)=1/4?
مثال ?: ? lim?(x??)???(2x^3+5x)/(x^4+3)=(? )/??
lim?(x??)??(2x^3+5x)/(x^4-3x)=? lim?(x??) (2x^3+5x)/(x(x^3-3))=?/? معينةغيركمية
اذا كان الجواب(?/?) نقسم حدي الكسر على? x?^4أي نقسم على x لاكبر درجة موجودة في الكسر
lim?(x??) (2x^3+5x)/(x^4-3x)=lim?(x??) ((2x^3)/x^4 +5x/x^4 )/(x^4/x^4 -3x/x^4 )=lim?(x??)??(2/x+5/x^3 )/(1-3/x^3 )?=(2/?+5/?)/(1-3/?)
هنا النتيجة يجب ان تكون صفر لان (0+0)/(1-0)=0/1=0
درجة البسط x^3 اقل من درجة المقام x^4
مثال?: جد lim?(x??)??(5x^3+3x)/(2x^2+1)?
الحل:
? lim??(x??)??(5x^3+3x)/(2x^2+1)?=?/?=كمية غير معينة
نقسم حدي الكسر على x^3
lim?(x??)??(5x^3+3x)/(2x^2+1)?= lim?(x??)??((5x^3)/x^3 +3x/x^3 )/((2x^2)/x^3 +1/x^3 )? =lim?(x??)??(5+3/x^2 )/(2/x+1/x^3 )?=(5+0)/(0+0)=5/0=?
مثال?: جد lim?(x??)??(4+2x^7)/(3x^2+4x^7 )?
الحل:
lim?(x??)??(4+2x^7)/(3x^2+4x^7 )?=?/?= كمية غير معينة
نقسم طرفي المعادلة على x^7
lim?(x??)??(4+2x^7)/(3x^2+4x^7 )?=lim?(x??)??(4/x^7 +(2x^7)/x^7 )/((3x^2)/x^7 +(4x^7)/x^7 )?=(4/?+2)/(3/?+4)=2/4=1/2
مثال?: جد lim?(x??)???(x^2+3x)-x?
lim?(x??)???(x^2+3x)-x?=?-?كمية غير معينة
lim?(x??)??(?(x^2+3x)-x)?=lim?(x??)??((?(x^2+3x)-x)(?(x^2+3x)+x))/((?(x^2+3x)+x))?
lim?(x??)??(x^2+3x-x^2)/(?(x^2+3x)+x)? نقسم حدي الكسر على x

?lim?(x??)??(?(x^2+3x)-x)=lim?(x??)??3x/(?(x^2+3x)+x)? ?
= lim?(x??)??(3x/x)/(?(x^2+3x)/x+x/x)=lim?(x??)??3/(?((x^2+3x)/x^2 )+1)? ? ?=lim?(x??)???3/(?(1+3/x)+1)=3/2?
مثال?: جد lim?(x??)??(?(x^2+3)?-x)
lim?(x??)??(?(x^2+3)?-x)=?-?كمية غير معينة
lim?(x??)??(?(x^2+3)?-x)=lim?(x??)??(?(x^2+3)?-x)((?(x^2+3)+x))/((?(x^2+3)+x))
=lim?(x??)??(x^2+3-x^2)/(?(x^2+3)+x)?=0 قسمة حدي الكسر على x

مثال? : جد lim?(x?2)??(x-2).5/?(x-2)?^3 ?
تمرين : اذا كان a=2 اكتب ثلاث جوارات للعدد2 (واجب صفي)