integration

أولا- تعريف الدالة المستمرة:Continuous Functions
تعريف?: يقال للدالة f(x)بانها مستمرة عند x_0 اذا كان
f(x_0 ) موجودة
lim?(x?x_0 ) f(x) موجودة
lim?(x?x_0 ) f(x)= f(x_0 )
ملاحظة: اذا فقد شرط واحد من هذه الشروط الثلاثة عند نقطة ما عندئذ تكون الدالة غير مستمرة عند تلك النقطة ويطلق على هذه النقطة بنقطة الانفصال . Separation point) )
مثال (1): هل الدالة f(x)=x^2 مستمرة عند x=3؟
f(3)=(?3)?^2 =9 موجودة
?lim?(??(x?3) x^2)=(?3)?^2 =9 موجودة
lim?(x?3) x^2= f(3) ? 9 = 9
أي ان الدالة مستمرة عند x=3
ماذا نستنتج من الرسم البياني لهذه الدالة ؟ 2 1 1- 2 -

مثال(2): هل الدالة f(x)=1/x مستمره عند x=0 ؟
f(0)=1/0 غير موجوده
? lim?(x?0^- )???1/x=-? ؛ ? lim?(x?0^+ )??1/x=+??
? لاتوجد غاية للداله y=1/x عند x=0
? lim?(x?0) ???1/x=??غير موجودة أي ان الدالة غير مستمرة







مثال(3): ابحث استمرارية الدالة f(x)=(x^2-4)/(x-2) عندما x=2 ؟
f(2) غير موجودة لان المقام = صفر عندما x=2 وهي تمثل نقطة الانفصال.
?f(x)=(x^2-4)/(x-2)=((x-2)(x+2))/((x-2))=(x+2) ; h(x)=(x+2)
lim?(x?2)?h(x)=lim?(x?2)?(x+2)=4
?D_f={x? x?2} ; D_h=R ; D_h?D_f
f(x)=4 فان x=2 عندما
علماً بأن الدالة غير معرفة عند x=2 أي ان
الدالة غير مستمرة.




ثانيا- الدالة المستمرة في فتره مفتوحه: Continuous Function In Open Interval
تعريف ?: يقال للدالة f(x) بانها مستمرة على الفترة المفتوحة (a ,b) اذا كانت الدالة مستمرة عند كل نقطة xالواقعة في تلك الفترة ، أي ? x?(a,b).
مثال(4): هل الدالة في مثال(2) مستمرة في الفترة (1,4)؟ ما هو الجواب
الدالة مستمرة عند أي عدد واقع في الفترة (1,4) عندئذ نقول بانها مستمرة في هذه الفترة المفتوحة (1,4) (من الرسم الدالة مستمرة)
مثال(5): هل الدالة في المثال (2( مستمرة في الفترة المفتوحة (-1,2) ؟
? الدالة غير مستمرة عند x=0 الواقعة في تلك الفترة (-1,2)عندئذ تكون الدالة غير مستمرة في هذه الفترة المفتوحة .
لكن الدالة مستمرة في الفترة (0,2) (من الرسم)
مثال(6): هل الدالة في المثال (3( مستمرة في الفترة المفتوحة (3,7) ؟
الدالة مستمرة عند أي عدد واقع في الفترة (3,7) عندئذ نقول بانها مستمرة في هذه الفترة المفتوحة ( (3,7
ثالثا- خواص الاستمرارية: properties of continuous function
اذا كانت f(x)=a_0+a_1 x^2+?+a_n x^nمتعددة حدود من الدرجة n حيث n عدد صحيح موجب a_1,a_2,…,?a_n و a?_n?0اعداد حقيقية فان f(x) مستمرة لكل R
? غايه متعددة الحدود نجدها بالتعويض المباشر فأن :
lim?(x?x_0 ) f(x)= a_0+a_1 x_0+a_2 x_0^2+?+a_n x_0^n
وعليه فان كل دالة متعددة حدود هي دالة مستمرة لكل الاعداد الحقيقية R
ان الدالة الثابتة f(x)=k تكون مستمرة لكل قيم x الحقيقية لان
lim?(x?x_0 ) f(x)= lim?(x?x_0 ) k=k=f(x_0)
ان الدالة النسبية h(x)=(f(x))/(g(x)) تكون مستمرة لكل قيم x التي تجعلg(x)?0.
لتكن f(x) دالة مستمرة في الفترة المغلقة [a, b] ولتكن w أي نقطة بين f(a) و f(b) عندئذ توجد نقطه c بين a و b بحيث انw= f(c) y








x
b c a


تعرف هذه الخاصية بأسم مبرهنة القيمة المتوسطة في الاستمرارية Intermediate Value Theorem For Continuous Functions وهي من الخواص المهمة في الاستمرارية حيث تعتبر من المفاهيم الاساسية في دراسة مبرهنة رول وكذلك مبرهنة القيمة المتوسطة في التفاضل والتكامل لاحقا. هندسيا نظرية القيمة المتوسطة تعني ان أي مستقيم افقي يقطع المحور y في نقطه مثل w تقع بين الاعداد f(a) f(b)و فانه سوف يقطع منحني الدالة f(x) في نقطه مسقطها يقع في الفترة المغلقة[a,b] ، وكذلك إذا كانت الدالّة الحقيقية f(x) مستمرّة على الفترة المغلقة[a,b] ، وكانت القيمتان f(a) و f(b) تختلفان بالإشارة، فتوجد بالضرورة نقطة c في الفترة [a,b] تحقّق: f(c)=0، أي هنالك بالتأكيد صفرية للدالة f في هذه الفترة.
مثلا إذا ازداد طول طفل من 1 متر إلى 1.5 مترًا من عمر سنتين حتّى عمر 6 سنوات، فبالتأكيد كان طول الطفل 1.25 مترًا في نقطة ما من الزمن بين عمر سنتين وعمر 6 سنوات، لأنّ طول الطفل كدالة من الزمن هي دالّة مستمرّة.
مثال(7): بين استمرارية الدالة f(x)=x^2+3x
? كلا من (x^2,3x) مستمرة لكل قيم x الحقيقية لانهما متعددة حدود
f(x)? تكون مستمرة لكل قيم x الحقيقية.
مثال(8) هل ان الداله 5= f(x) مستمرةعندما x=3 ؟ بين ذلك
lim?(x?3)??5=5 y=5?



بما ان 5= f(x) دالة ثابته لذا فهي مستمرة لكل قيم x الحقيقية .
مثال(9): هل الدالة f(x)= {?((x^2-9)/(x-3) ,x?3@ 8 , x=3)? مستمرة عند x=3 ؟
lim?(x?3) f(x)=lim?(x?3) (x^2-9)/(x-3)
?=lim??(x?3) ((x-3)(x+3))/((x-3))
=lim?(x?3) (x+3)=6 موجودة
موجودة من المعطياتf(3)=8 حيث? lim??( x?3) f(x)?f(x)
6?8
? الدالة غير مستمرة عند x=3


مثال(10): هل الدالة f(x)= {?((x^2-9)/(x-3) ,x?3@6 , x=3)? مستمرة عند x=3 ؟
lim?(x?3) f(x)=lim?(x?3) (x^2-9)/(x-3) ?=lim??(x?3) ((x-3)(x+3))/((x-3)) = lim?(x?3) (x+3)=6 موجودة
f(3)=6 موجودة
lim?(x?3) f(x)=6=f(3)
? الدالة مستمرة عند x=3
مثال(11) : هل الدالة |x|/x f(x)= مستمرة عندما 0 = x ؟
واضح ان الدالة غير معرفة عندما 0 = x
?lim?(x?0^- ) |x|/x=lim?(x?0^- )??|-x|/(-x)?=lim?(x?0^- )??1=-1 ?
lim?(x?0^+ )??|x|/x?=lim?(x?0^+ )??|+x|/(+x)?=lim?(x?0^+ )??1=1 ?
?lim?(x?0^- )??|x|/x??lim?(x?0^+ )??|x|/x?
? لا توجد غاية للدالة |x|/x
أي ان الدالة غير مستمرة عند النقطة 0 = x
هل ان الدالة مستمرة في الفترة المفتوحة (0,?) ؟

مثال(12): هل الدالة f(x)=1/x^2 مستمرة عندما x = 0 ؟
lim?(x?0^- )??1/x^2 =? ,lim?(x?0^+ )??1/x^2 =?? ?
وعليه فأنlim?(x?0)??1/x^2 ?=? حيث لا توجد غاية للدالة
أي ان الدالة غير مستمرة عندما x=0

رابعا- العمليات الجبرية على الدوال المستمرة: Algebraic operations on continuous functions
مبرهنة?: لتكن كل من f,gدالة مستمرة عند النقطة x_0 فان الدوال التالية مستمرة عند النقطة x_0
الدالة c.f(x) حيث c يمثل ثابت حقيقي
الدالة f(x)±g(x)
الدالة f.g
f/g عندما g(x)?0
برهان(4) :
lim?(x?x_0 ) (f(x))/(g(x))=(lim?(x?x_0 ) f)/(lim?(x?x_0 ) g)=(f(x_0))/(g(x_0))=f/g(x_0)
بشرط ان g(x_0 )?0
مثلا الدالة f(x)=3x^2 هي مستمرة لكل قيم x الحقيقية ؛ كذلك اذا كانت f(x)=x^2 ، g(x)=2x
فان x^2+2x f(x)=+ g(x) هي مستمرة لكل قيم x الحقيقية كما ان2 x^3= f(x).g(x) هي ايضا مستمرة لكل قيم x الحقيقية.
5) تركيب الدوال المستمرة: Composite Of Continuous Functions
اذا كانت f دالة مستمرة عند النقطة a وكانت lim?(x?x_o )??g(x)=a?
فان lim?(x?x_o )??f(g(x))=f(a)?
أي بعبارة أخرى lim?(x?x_o )??f?g=?lim?(x?x_o ) f(???g(x))=f(lim?(x?x_o )?g(x) )=f(a) ? ?
مثال(13): بين استمرارية الدالة ?((x^2-9)/(x-3))?^2 عندما x=2
نجد lim?(x?2)???((x^2-9)/(x-3))?^2 ?
f(x)=x^2 ; g(x)=(x^2-9)/(x-3)
f?g=f(g(x))=f((x^2-9)/(x-3)) =(?(x^2-9)/(x-3))?^2
? lim??( x?2)??g(x)=lim?(x?2)??(x^2-9)/(x-3)=lim?(x?2)??(x+3)= ? 5 ? ?
lim?(x?x_o )??f?g=?lim?(x?x_o ) f(???g(x))=f(lim?(x?2)?g(x) )=f(5)? ?=25
اي ان الدالة مستمرة عندما x=2
مبرهنة?: اذا كانت f دالة مستمرة عند ? x?_0, g دالة مستمرة عند f(x_0) فانه g?f تكون مستمرة عند x_0




مثال(14): اذا كانت f(x)=x^2 ؛ g(x)=x+1 بين ان f?g هي دالة مستمرة
واضح ان كلا من f(x)=x^2؛ g(x)=x+1 هي دوال مستمرة لكل قيم x الحقيقية لأنها متعددة حدود.
الان
f?g=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1 وهي دالة مستمرة لكل قيم x الحقيقية لأنها متعددة حدود.
ملاحظات:
1) كل الدوال متعددة الحدود هي دوال مستمرّة وكذلك دوال القيمة المطلقة .
2) f?g g?f?
3) عملية تركيب الدوال المستمرة هي صحيحة لأي عدد من الدوال المستمرة .
4) إذا كانت الدالّة f(x) قابلة للاشتقاق في النقطة c، فهي بالضرورة مستمرّة في هذه النقطة. أمّا العكس فليس صحيحًا، فعلى سبيل المثال: الدالّة f(x)=|x| هي دالّة مستمرّة في النقطة ولكنّها ليست قابلة للاشتقاق في تلك النقطة وسنبين ذلك لاحقا في دراستنا لموضوع المشتقة.
5) هنالك بعض الدوال التي هي غير مستمرّة في أيّة نقطة في نطاقها. مثال على ذلك دالة ديريخليه، نسبة للعالم الألماني يوهان ديريخليه، وتعريفها كالتالي :

أي أنّ الدالة تحصل على القيمة 1 لكل ينتمي إلى مجموعة الأعداد النسبية (أي التي بالإمكان كتابتها على شكل كسر عادي أو عدد كسري) ، وعلى القيمة لكل لا ينتمي إلى تلك المجموعة، أي لكل عدد غير نسبي بالإمكان برهان ذلك على محور الأعداد الحقيقية ، حيث يوجد بين كل عددين نسبيين عدد غير نسبي، وبين كل عددين غير نسبيين عدد نسبي. بالاعتماد على هذا، فإنّ دالة ديريخليه هي دالّة غير مستمرّة في أيّة نقطة.
6) هنالك أكثر من تعريف رياضي واحد لاستمراريّة الدالة:
تعريف الاستمراريّة بحسب كوشي (إبسيلون- دلتا( - بالإمكان تعريف الدالة المستمرة بالشكل الآتي :
لننظر مجددًا إلى دالّة بمتغيّر واحد حقيقي قيمها حقيقيّة، ولنفرض أنّ العدد هو أحد عناصر نطاق الدالّة تكون الدالّة هي دالة مستمرة في النقطة إذا تحقّق الاتي : لكل ، مهما كان صغيرًا، يوجد عدد ، بحيث أنّ لكل x في نطاق الدالّة الذي يحقّق ، يتحقّق التالي بالنسبة لـ :
إذا كانت المجموعات ، هي مجموعات جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقيّة ، فإنّ استمراريّة الدالّة في النقطة تعني أنّه لكل ، هنالك يحقّق لكل :

إنّ أوّل من برهن استمراريّة دالّة بهذه الطريقة كان الرياضي أوغستين كوشي. ولتفسير هذا التعريف بصورة بديهيّة: إذا اخترنا أي جوار ، مهما كان صغيرًا، لـ ، فبالإمكان إيجاد جوار لـ بحيث تكون قيم الدالّة في الجوار الأخير موجودة كلّها في الجوار الأوّل.
تعريف الاستمراريّة بحسب هاينه - أوّل من وضع هذا التعريف كان الرياضي الألماني إدوارد هاينه :
يقال بأنّ الدالّة الحقيقيّة مستمرّة إذا كانت كلّ متتالية (x_n ) تحقّق: ? lim??( n??) (x_n )=Lأي أنّه إذا كانت نهايتها هي العددL ، فأن : ? .lim??( n??) f(x_n )=f(L)أي أنّ نهاية الدالة عند اقترابها من نهاية المتتالية (x_n ) تساوي قيمة الدالة في نهاية المتتالية(x_n ) ، أي . f(L) هذا وقد افترضنا في التعريف أعلاه أنّ كل حدود المتتالية ونهايتها كذلك كلّها موجودة في نطاق الدالة
التقويم:
س (1) / ماهي شروط الدالة المستمرة ؟
س (2) / اعط مثالا لدالة مستمرة رسمها البياني يمثل خط مستقيم؟
س (3) / كيف تميز بين الدالة المستمرة وغير المستمرة بيانيا ؟
س (4) / هل الدالة f(x)=2x^3 مستمرة ؟
س (5) / هل الدالة 1/?(x+1) f(x)= مستمرة في الفترة (-1,4) وماهي نقاط الانفصال ان وجدت؟
س (6) / اذا كانت f(x)=x^2 ؛ g(x)=2x بين ان g?f هي دالة مستمرة ؟
الواجب البيتي: حل التمارين الخاصة بالاستمرارية الموجودة في نهاية الفصل.
المصادر العربية:
1- احمد عبد العالي، "التفاضل والتكامل" ،الجزء الثاني، كلية العلوم، جامعة ناصر،2003، ليبيا.
2- برنارد كولمن ، هوارد انتون، "الرياضيات وتطبيقاتها الادارية "، 1982 ، دار المريخ للنشر1987 الرياض السعودية- تعريب د. هادي مجيد الحداد، د. محمد بركات قنديل.

المصادر الاجنبية:
1.George B.Thomas," Thomas Calculus ",11-edition, Massachusetts Institute of Technology, 2005.
2. https://ar.wikipedia.org/wiki/Continuous Functions.